
\begin{subsection}{Análisis teórico para la fórmula de Machin}

	\begin{subsubsection}{Fórmula de Machin}
%		\machin
	\end{subsubsection}

	\begin{subsubsection}{Algoritmo implementado}

	\end{subsubsection}

	\begin{subsubsection}{Propagación del error del algoritmo implementado}
		
		Para calcular el error de la Fórmula de Machin, primero debemos calcular el error cometido en el algoritmo utilizado para calcular el arcotangente de un número cuyo modulo sea menor que uno.


		Sean $t_0, t_1, t_2$ los primeros tres términos sin signo del algoritmo implementado, es decir:
			$$t_k = \dfrac{x^{2k+1}}{2k+1}$$
		Por lo tanto:
			\begin{eqnarray}
				t_0 &=& x \\
				t_1 &=& \dfrac{x^{3}}{3} \\
				t_2 &=& \dfrac{x^{5}}{5}
			\end{eqnarray}

		
		Para analizar el error relativo de los primeros tres términos calculados por el algoritmo analizamos los siguientes errores:
			\newcommand{\errGregTceroTuno}{\dfrac{t_0 \err{t_0} - t_1 \err{t_1}}{t_0-t_1}+\errresta}
			\newcommand{\errGregTk}[1]{\errdiv^{#1} - \errcast^{#1}}
			\begin{eqnarray}
				\err{t_0} &=& 0 \\
				\err{t_1} &=&  \err{x^{3}}-\errcast^{3}+\errdiv^{3} \rightarrow \frac{3}{x}\err{x} + Ln(x)\errcast^{3} + \err{pot}-\errcast^{3}+\errdiv^{3}\\
				\err{t_2} &=& \err{x^{5}}-\errcast^{5}+\errdiv^{5} \rightarrow \frac{5}{x}\err{x} + Ln(x)\errcast^{5} + \err{pot}-\errcast^{5}+\errdiv^{5}
			\end{eqnarray}
		El cálculo de los primeros tres términos hecho por el algoritmo es \\ $t_0-t_1+t_2$.
			\begin{eqnarray}		
				\err{t_0-t_1}     &=& \errGregTceroTuno \\		
				\err{t_0-t_1+t_2} &=& \dfrac{ (t_0-t_1) \err{t_0-t_1} + t_2 \err{t_2} }{ t_0-t_1+t_2 } + \errsuma 
			\end{eqnarray}

		Reemplazando (16) en (17):

			\begin{eqnarray}
				\err{t_0-t_1+t_2} &=& \dfrac{ (t_0-t_1) \left(\errGregTceroTuno\right) + t_2 \err{t_2} }{ t_0-t_1+t_2 } + \errsuma \nonumber \\
								  &=& \dfrac{ t_0 \err{t_0} - t_1 \err{t_1} + (t_0-t_1)\errresta + t_2 \err{t_2}} { t_0-t_1+t_2 } + \errsuma
			\end{eqnarray}

		Reemplazando (9), (10), (11), (12),(13) y (14) en (17):
			\begin{eqnarray}
				\err{t_0-t_1+t_2} &=& \dfrac{ x \err{t_0} - \dfrac{x^{3}}{3} (\frac{3}{x}\err{x} + Ln(x)\errcast^{3} + \err{pot}-\errcast^{3}+\errdiv^{3} ) + (x-\dfrac{x^{3}}{3})\errresta + \dfrac{x^{5}}{5}(\frac{5}{x}\err{x} + Ln(x)\errcast^{5} + \err{pot}-\errcast^{5}+\errdiv^{5})}{ x-\dfrac{x^{3}}{3}+\dfrac{x^{5}}{5} } + \errsuma
			\end{eqnarray}

		Luego, el error de la fórmula de machin se obtiene calculando el error de la formula del arcotangente con los parámetros de la formula ya mencionada. (19)
		\begin{eqnarray}
\err{machin} &=& \dfrac{16 arctg(\dfrac{1}{5})  (\errcast^{16}+\err{arctg}^{1/5})  +\err{*}^{16})}{16 arctg(\dfrac{1}{5}) - 4 arctg(\dfrac{1}{239})} 
		   - \dfrac{4  arctg(\dfrac{1}{239})(\errcast^{4} +\err{arctg}^{1/239})+\err{*}^{4}}{16 arctg(\dfrac{1}{5})   - 4 arctg(\dfrac{1}{239})} + \err{-}	 				
		\end{eqnarray}
		Si reemplazamos el resultado (18), con = 0 1/5 y x = 1/239 nos queda ALTO BARDO QUE NO ME ENTRA EN UNA CARILLA! AYUDA DANI!			
%			\begin{eqnarray}
%					\err{t_0-t_1+t_2} &=& \dfrac{ - \dfrac{1}{375} (15\err{x} + (−2,079441542)\errcast^{3} + \err{pot}-\errcast^{3}+\errdiv^{3} ) + (1/5-1/375\errresta +  + −2,079441542\errcast^{5} + \err{pot}-\errcast^{5}+\errdiv^{5})}{ x-\dfrac{1}{375}+\dfrac{1/5^{5}}{5} } + \errsuma
%				\end{eqnarray}
		\end{subsubsection}
	

\end{subsection}

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